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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Calcule los siguientes límites
c) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)(e^{x}-1)$
c) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)(e^{x}-1)$
Respuesta
Calculamos ahora este límite:
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$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)(e^{x}-1)$
Vemos que estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente para poder aplicar L'Hopital:
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{e^{x}-1}}. $
Ahora estamos frente a un "infinito sobre infinito", ya podemos aplicar L'Hopital:
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{e^x}{(e^{x}-1)^2}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-1}{x}\frac{(e^{x}-1)^2}{e^x} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-(e^x -1)^2}{x e^x}$
Ahora nos quedó un "cero sobre cero", no hay problema, vamos con L'Hopital una vez más:
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-2 (e^x - 1) e^x}{e^x + xe^x} = 0$
Y terminamos, el resultado del límite es $0$